Sterowanie ślizgowe w zastosowaniu do serwonapędu elektrohydraulicznego

Serwonapędy elektrohydrauliczne odgrywają ważną rolę w budowie maszyn produkcyjnych i roboczych współczesnego przemysłu. Zaletą napędów elektrohydraulicznych są bezkonkurencyjnie duże wydajności energetyczne i sztywności obciążeniowe aktuatorów. Implementacja układów sterowania napędów elektrohydraulicznych pozostaje jednak nadal nie w pełni zadowalająco rozwiązanym problemem. Jednym z głównych powodów są silne nieliniowości zachowań dynamicznych elementów i zespołów hydraulicznych [1]. Dla poprawy jakości tych zachowań wypróbowano w technice serwonapędu elektrohydraulicznego w zasadzie wszystkie znane algorytmy sterowania, zaczynając od konwencjonalnych regulatorów PID, przez regulatory zmiennych stanu, układy logiki rozmytej i kończąc na sieciach neuronowych. W ostatnich latach coraz większą popularność zdobywa nowe podejście do sterowania układami nieliniowymi w postaci sterowania ślizgowego [5, 7]. Sterowanie to należy do tzw. rozwiązań odpornych (ang. Robust Control) i doskonale nadaje się do obiektów o niedokładnie wyznaczonych parametrach modelu, a w odniesieniu do technik napędowych charakteryzuje się bardzo dobrymi wynikami pozycjonowania przestawnego i nadążania [2, 3, 6].

Model matematyczny

Model opisujący zachowania dynamiczne serwonapędu elektrohydraulicznego (rys. 1) można przedstawić jako układ równań trzeciego stopnia w przestrzeni zmiennych stanu [1]:

	(1)
	(2)
	(3)

Pochodne ciśnień p₁ i p₂, wynikające z natężeń przepływu przez zawór rozdzielający, opisane są zależnościami:

	(4)
	(5)

gdzie: B − moduł ściśliwości cieczy, V_L1,2 − objętości martwe siłownika, x_max − skok tłoka, u − sygnał sterowania, p_S,T − ciśnienia zasilania i spływu oraz K_q − stały współczynnik natężenia przepływu, który może być aproksymowany za pomocą danych katalogowych producenta zaworów rozdzielających.

Podstawiając równania (4) i (5) do (3), otrzymuje się następujące równanie stanu:

	(6)
	(7)
	(8)

przy czym zmienne współczynniki β₁ i β₂ są funkcjami położenia tłoczyska x:

	(9)
	(10)

Zachowanie dynamiczne układu, zależność (7), jest jedynie estymowane z określonym błędem oszacowania ε_f:

(11)

Błąd oszacowania ε_f zależy od zmiennych stanu obiektu: x, v oraz a. Przyjmując, że A_1,2 i M są znane z dostateczną dokładnością, wartość błędu ε_f  określa zależność

(12)

gdzie x_r jest pozycją zadaną.

Nie jest możliwe dokładne ustalenie wartości współczynnika wzmocnienia sterowania b, zależność (8), a jedynie tylko oszacowanie jego wartości między wartościami b_min i b_max − dlatego wzmocnienie to możemy przyjąć jako średnią geometryczną tych wartości

(13)

którą, dzięki przekształceniu zależności (8), określi zależność:

(14)

gdzie g(x) jest równe

(15)

a p_vmin, p_vmax reprezentują minimalne i maksymalne spadki ciśnień przepływów przez kanały zaworu rozdzielającego.

Dla wektora błędu e = [e_x, e_v, e_a] z elementami składowymi: e_x = x–x_r, e_v = v–v_r oraz e_a = a–a_r, definiuje się zmienną w czasie, skalarną powierzchnię przełączeń S(e, t) = 0, z S określonym jako [8]:

(16)

Sterowanie ekwiwalentne u_eq, które dba aby trajektoria w przestrzeni stanu pozostawała na powierzchni przełączeń, jest określone z warunku na S´ = 0 i wyraża się zależnością

(17)

Wyznaczone sterowanie ekwiwalentne nie daje gwarancji stabilności sterowania ślizgowego. Aby skompensować błędy oszacowania (np. zmienność parametrów czy brak modelu tarcia), zależność (17) należy uzupełnić składnikiem nieciągłym w postaci funkcji signum (sign):

(18)

Analiza stabilności

Istotą algorytmu ślizgowego jest to, że aby osiągnąć idealne śledzenie, wszystkie trajektorie układu w przestrzeni stanu muszą dążyć do powierzchni S w skończonym czasie, a następnie pozostawać na tej powierzchni, co można wyrazić matematycznym warunkiem na zasadę zachowania stabilności (II metoda Lapunowa) [2, 7]:

(19)

gdzie η jest określoną, dodatnią stałą.

W równaniu (18) należy wyznaczyć zmienną k, tak aby powyższy warunek stabilności był spełniony. Wychodząc z pochodnej S, zależność (16),

(20)

przyjmując:

(21)

oraz korzystając z zależności (6, 18 i 20) można zapisać warunek (19) w następującej postaci:

(22)

Biorąc pod uwagę, że dla S = 0 warunek (19) jest oczywiście spełniony, z warunków (11) i (22), otrzymuje się

(23)

Korzystając z zależności (13) oraz wprowadzając stosunek wzmocnień:

(24)

dla 0 b_min ≤ b ≤ b_max, otrzymuje się

(25)

co, odwołując się do równania (17) i zapisu (21), określa końcowy warunek na wartość k jako:

(26)

Jeśli k spełnia warunek (26), to jednocześnie istnieje pewność, że warunek (19) na stabilność i ruch ślizgowy został spełniony.

Występowanie w zależności na sygnał sterowania członu nieciągłego w postaci funkcji signum (17, 18), powoduje pojawienie się częstych przełączeń [9]. Jednym z częstych rozwiązań eliminujących ten problem jest zastąpienie funkcji sign w zależności (18) przez funkcję tanh (sigmoidalną) [4]:

(27)

gdzie φ>0 jest użyty w celu wygładzania drgań sygnału sterowania. Wartość φ powinna zapewniać optymalny kompromis między błędem pozycjonowania a poziomem drgań sygnału sterowania serwonapędu [10].

Wyniki badań

Opisany algorytm sterowania ślizgowego został zaimplementowany w sterowniku rzeczywistego serwonapędu elektrohydraulicznego [10]. Badany układ składał się z siłownika hydraulicznego z dwustronnym tłoczyskiem oraz serwozaworu elektrohydraulicznego. Dla osiągnięcia efektywnej implementacji algorytmów sterowania wykorzystano komputer z zainstalowaną kartą kontrolno-pomiarową dSpace 1104 z procesorem sygnałowym DSP. Karta umożliwia konwersję sygnałów analogowych na cyfrowe (ADC), cyfrowych na analogowe (DAC), wyposażona jest w wejścia/wyjścia cyfrowe (I/O) oraz w n-koder i modulator o zmiennej szerokości impulsu (PWM). W odniesieniu do szerokości pasma przenoszenia serwozaworu oraz wymaganej dynamiki układu zamkniętego, czas próbkowania sterownika został ustalony na poziomie T = 1 ms.

Na rys. 2 przedstawiono odpowiedź skokową serwonapędu elektrohydraulicznego sterowanego ślizgowo z użyciem funkcji signum oraz sigmoidalnej. Porównanie przebiegu sygnału sterowania obu wariantów przedstawiono na rys. 3. Wybrano następujące wartości parametrów algorytmu ślizgowego: λ=6250, η=1500, φ=0,1.

Dla porównania jakości sterowania zaimplementowano również regulator PID o następujących parametrach: Kp=600, Ki=55, Kd=5. Na rys. 4 przedstawiono porównanie odchyłki nadążania w trakcie śledzenia sygnału sinusoidalnego przez algorytmy SMC i PID. Należy pamiętać, że jakość sterowania pozycyjnego w przypadku algorytmu ślizgowego zależy silnie od zjawiska przełączeń sygnału sterowania. Minimalizacja odchyłki jest osiągana kosztem większej liczby przełączeń.

Podsumowanie

Przedstawiono implementację algorytmu sterowania ślizgowego serwonapędu elektrohydraulicznego z wykorzystaniem funkcji signum i funkcji sigmoidalnej. Obie wersje algorytmu przebadano eksperymentalnie na stanowisku badawczym.

Wyniki badań udowodniły poprawę zachowań serwonapędu w przypadku sterowania ślizgowego wykorzystującego funkcję sigmoidalną (tanh), szczególnie przy niepewnych parametrach modelu oraz braku modelu tarcia.

W porównaniu z tradycyjnym regulatorem typu PID, wybrany wariant sterowania ślizgowego charakteryzuje się mniejszą odchyłką. Użycie funkcji sigmoidalnej w miejsce funkcji signum pozwala zminimalizować szkodliwe zjawisko szybkich przełączeń sygnału sterowania.

Bibliografia

1. Helduser S., Mednis W., Olszewski M.: Elementy i układy hydrauliczne. Oficyna Wydawnicza PW, Warszawa 2009.
2. Bonchis A., Corke P., Rye D., Ha Q.: Variable Structure Methods in Hydraulic Servo Systems Control. Automatica, 37 (2001), 589–595.
3. Ha Q., Nguyen Q., Rye D., Durrant-Whyte H.: Fuzzy Sliding-Mode Controllers with Applications. IEEE Transactions On Industrial Electronics, 40 (2001) 1, 38–46.
4. Ha, Q.: Sliding Performance Enhancing with Fuzzy Tuning. IEE Electronics Letters, 33 (1997) 16, 1421–1523.
5. Liu Y., Handroos H.: Technical Note Sliding Mode Control for a Class of Hydraulic Position Servo. Mechatronics 9 (1999), 111–123.
6. Perruquetti W., Barbot J.: Sliding Mode Control in Engineering. Marcel Dekker Inc., New York 2002.
7. Slotine J.J., Sastry S.S.: Tracking Control of Nonlinear Systems Using Sliding Surfaces with Application to Robot Manipulators. Intern. Journal of Control, 39 (1983) 2, 465–492.
8. Spurgeon S.K., Edwards C.: Sliding Mode Control. Taylor and Francis, London 1998.
9. Winnicki A., Olszewski M.: Control of an Elektrohydraulic Position Servo System Using SMC. Hydraulica a Pneumatica, 24 (2006) 3–4, 27–29.
10. Winnicki A., Olszewski M.: Sliding Mode Control of Electro-hydraulic Servo System. PAK, 55 (2009) 3, 174–177.

mgr inż. Arkadiusz Winnicki

Absolwent Wydziału Mechatroniki Politechniki Warszawskiej. Asystent w Zakładzie Urządzeń Wykonawczych Automatyki i Robotyki Instytutu Automatyki i Robotyki. W pracy naukowo-badawczej zajmuje się zagadnieniami algorytmów sterowania płynowymi urządzeniami wykonawczymi.

prof. nzw. dr hab. inż. Mariusz Olszewski

Absolwent, obecnie profesor, od 1994 r. dyrektor Instytutu Automatyki i Robotyki na Wydziale Mechatroniki Politechniki Warszawskiej, stypendysta niemieckiej Fundacji Alexandra v. Humboldta, członek konsorcjum Europejskiej Sieci Centrów Techniki Płynowej (FPCE). Staże naukowe w Reńsko-Westfalskiej Politechnice w Akwizgranie i Uniwersytecie Technicznym w Sztuttgarcie, praktyki w niemieckim przemyśle precyzyjnym imechatronicznym. Specjalista i autor publikacji, książek, podręczników, patentów i wdrożeń z zakresu budowy i sterowania urządzeń wykonawczych automatyki, robotyki przemysłowej i mechatroniki. Wieloletnia praktyka w kierowaniu krajowymi i międzynarodowymi projektami badawczymi i rozwojowymi.